Арно Арутюнович Бабаджанян родился 21 января 1921 года в Эривани (ныне — Ереван, Армения). Его отец играл на флейте, и сам Арно с детства проявил музыкальные способности. В 3 года он начал играть на старой гармонике, а в 9 лет написал первое музыкальное произведение — «Пионерский марш». В 1933 году на конкурсе молодых музыкантов Армении он получил первый приз.
После окончания школы Арно Бабаджанян приехал в Москву и поступил в музыкальное училище им. Гнесиных, был принят сразу на последний курс по классу фортепиано. Затем он окончил экстерном композиторский факультет Ереванской консерватории и Московскую консерваторию по классу фортепиано. С 1950 года был преподавателем Ереванской консерватории, сочинял музыку: фортепианные пьесы, концерты для скрипки и виолончели, песни.
Переехав в Москву в 1956 году, Бабаджанян пишет песни, которые быстро обретают популярность. На стихи Роберта Рождественского им написаны «Голубая тайга», «Будь со мной», «Позови меня», «Загадай желание», на стихи Евгения Евтушенко — «Не спеши», «Твои следы», «Чертово колесо», на стихи Андрея Вознесенского — «Москва-река», «Верни мне музыку», на стихи Леонида Дербенева — «Лучший город земли». А его «Песня первой любви» и «Ереван» воспринимаются как гимн родному городу.
Работал композитор и в области инструментального джаза, музыкально-театральных жанров. Им написаны мюзиклы «Дядя Багдасар», «Невеста с Севера», «В горах моё сердце». Репертуарными стали его отмеченная рельефной образностью, экспрессивная, ярко национальная «Героическая баллада» для фортепиано с оркестром (1950), Фортепианное трио (1952), Соната для скрипки и фортепиано (1959), «Шесть музыкальных картин» (1965), в которых новаторски соединены фольклорные элементы с серийностью, а также другие пьесы для рояля.
Всемирную известность приобрели яркие и виртуозные сочинения Бабаджаняна для двух роялей, созданные в соавторстве с А.Арутюняном («Армянская рапсодия», «Праздничная»). Среди исполнителей академической музыки Бабаджаняна: М.Ростропович, Э.Гилельс, Д.Ойстрах, Л.Власенко, Ж.Тер-Меркерян, Д.Ханджян и другие.
Нередко Арно Арутюнович выступал в качестве пианиста на сценах различных городов с блистательным исполнением своих сочинений, которые были записаны на плёнки, изданы на аудиодисках. В последний период жизни он стремился к большему рационализму в творчестве.
Народный артист СССР и Армянской ССР — композитор был награжден орденами Ленина и Трудового Красного Знамени, он лауреат Сталинской и двух Государственных премий Армянской ССР.
Арно Арутюнович Бабаджанян умер 11 ноября 1983 года в Москве, был похоронен в Ереване на Тохмахском кладбище. В его честь открыт фонд памяти, который занимается поддержкой талантливых музыкантов.
