Александр Михайлович Татарский родился 11 декабря 1950 года в Киеве. Окончил Киевский институт театра и кино по специальности кинодраматург-киновед-редактор, а также закончил специализированные трехгодичные курсы художников-мультипликаторов Госкино УССР.
Анимацией занимался с 1968 года на студии «Киевнаучфильм». Прошел путь от заливщика до режиссёра. В 1980 году он переехал в Москву для работы кинорежиссёром в мультипликационной студии творческого объединения «Экран».
Абсолютно все работы Татарского имели большой успех и были отмечены различными международными наградами. Самый первый его мультфильм — «Пластилиновая ворона» — моментально обрел всенародную популярность, так же, как и второй — «Падал прошлогодний снег». Мультфильм «Обратная сторона луны» был признан лучшим мультфильмом 1984 года на фестивале мультфильмов в Лондоне.
Татарского всегда очень огорчала ситуация в отечественной анимации. При обилии талантливых художников-аниматоров о русских мультфильмах порой ничего не знает даже русский зритель. Он был за хорошую анимацию вне зависимости от её национальности.
В 1988 году Александр Татарский стал одним из основателей Московской студии «Пилот» (Школа новых экранных технологий), где Татарский взял на себя роль художественного руководителя. Студия «Пилот» стала первой независимой киностудией в Советском Союзе.
Всего Татарский создал более двадцати мультипликационных фильмов, в большинстве которых он выступал как режиссер, сценарист и художник-постановщик. Также он является автором-режиссёром многих рекламных роликов и музыкальных клипов. Заслуженный деятель искусств России он был обладателем многих кинематографических призов и премий.
Помимо работы в анимации и на телевидении, Александр Михайлович занимался и педагогической деятельностью на Высших курсах сценаристов и режиссеров, где подготовил ряд высокопрофессиональных специалистов — многие из его учеников стали признанными мастерами анимации. Также он был президентом Открытого российского фестиваля анимационного кино в Суздале и руководителем секции анимации при Союзе кинематографистов.
Последние месяцы Александр Михайлович жил в постоянном нервном напряжении. Постоянная нехватка денег приводила к тому, что студия могла выпустить два-три пятнадцатиминутных фильма в год.
22 июля 2007 года в Москве Александр Татарский умер во сне от остановки сердца. Похоронен на Миусском кладбище столицы.
